L'Almagesto, opera del celebre astronomo alessandrino Tolomeo, espone una

completa teoria geometrica dei moti planetari.

 Questa grande opera fu compilata nel II secolo d.C. con il nome di Sistema

matematico  del  mondo  ed  era basata sulle  osservazioni  e  le  idee  di

astronomi precedenti.

 Alla  base della costruzione di Tolomeo stanno le due  antiche  concezioni

che  la  terra  doveva stare immobile nel centro del mondo e  che  tutti  i

movimenti celesti dovevano essere dei moti circolari uniformi.

 Poichè il Sole e la Luna non dimostrano una velocità angolare uniforme,

Tolomeo non fa coincidere con la Terra il centro del circolo descritto dal

Sole ma lo pone, secondo la concezione di Ipparco, esterno alla Terra in

modo che quando il Sole è al punto P (perigeo) (fig. 1)


la sua velocità angolare a/T è massima e quando è in A (apogeo) essa è minima.

 La  linea  AP  è la linea degli absidi.  Questo  cerchio  veniva  chiamato

eccentrico. Il rapporto CT/R (R raggio dell'orbita) era chiamato eccentri_

cità   dell'orbita   e   poteva  essere   calcolato   facilmente   mediante

l'osservazione  degli  angoli a e b descritti dal Sole  in  prossimità  del

perigeo e dell'apogeo rispettivamente, in uno stesso tempo. L'arco doveva

essere uguale nei due casi per la supposta uniformità del moto, quindi:

TP   r-c   b                              c   a-b

—— = ——— = - , da cui l'eccentricità  e = — = ———

TA   r+c   a                              r   a+b

 Le  osservazioni  fornivano  in questo modo e=0,036 e  se  Tolomeo  avesse

conosciuto  le  distanze  TA  e  TP  si  sarebbe  accorto  che  il   valore

dell'eccentricità ottenuto dalle misure è la metà di quello così calcolato

e  avrebbe  con ciò compreso che il moto uniforme sul  circolo  non  poteva

essere esatto.

 Per i cinque pianeti Tolomeo immagina che il moto sia la combinazione di

due moti circolari. (fig. 2)


Sull'epiciclo  il  moto  del pianeta R era supposto uniforme,  ma  per  il

centro  dell'epiciclo  C1, era necessario ammettere un moto  variabile  sul

deferente.

 Per mantenere il carattere di uniformità del moto egli dovette individuare

un punto M detto equante che stava ancora oltre il centro del deferente.

 Con questo sistema Tolomeo riusciva a spiegare sia qualitativamente che

quantitativamente  tutte  le  fasi  del moto apparente  e  le  sue  formule

servivano  per le rappresentazioni delle posizioni osservate dei pianeti  e

e per il calcolo di posizioni del passato e del futuro come oggi servono

le formule dei moti kepleriani.

 

 

La teoria eliocentrica dovuta a Copernico con l'opera De revolutionibus

orbium coelestium (1543) è basata su due concezioni.

1) Il moto di rotazione diurna del cielo è soltanto apparente e causato da

   una rotazione diurna della Terra sferica attorno ad un asse passante per

   il suo centro.

2) La Terra è pure un pianeta e circola come gli altri intorno al Sole.

 Copernico mantiene l'assioma dei moti circolari uniformi.

 L'obiezione principale a questo sistema derivò dal fatto che la Terra pur

passando da un punto della sua orbita a quello diametralmente opposto non

causava alcuna variazione nelle direzioni delle stelle.

 Questo fatto indusse Copernico a ritenere che le distanze delle stelle

devono essere grandissime e quindi l'angolo sotto cui è visto da una stella

il diametro dell'orbita terrestre (cioè la parallasse annua) doveva essere

piccolissimo e inaccessibile alle misure del suo tempo.

 Copernico non poteva dare una dimostrazione della realtà del suo sistema

perché non erano ancora conosciuti i fenomeni dell'aberrazione e delle

oscillazioni pendolari.

 Ticone Brahe, l'ultimo e più degno rappresentante dell'osservazione senza

cannocchiale,  fu  un  oppositore della teoria  eliocentrica  che  riteneva

inammissibile a causa della mancanza di una parallasse stellare.

 La precisione delle sue osservazioni fu di grande importanza e preparò la

strada al suo successore Kepler.

 Quando  Galileo  incominciò  le sue osservazioni  col  cannocchiale,  poté

provare scientificamente la validità del sistema Copernicano.

 Il rilievo della Luna, la forma sferica dei pianeti, i quattro  principali

satelliti  di  Giove e lo studio dei loro movimenti che  rivelano  in  quel

complesso un sistema planetario in proporzioni minori e, prova decisiva, le

fasi che mostravano al cannocchiale i due pianeti Venere e Mercurio con  le

quali  veniva assodato matematicamente che i due pianeti  interni  dovevano

muoversi intorno al Sole.

 Kepler  che fu dapprima collaboratore e poi successore di Ticone a  Praga,

dopo  laboriosi e lunghi tentativi e calcoli giunse alle tre celebri  leggi

che portano il suo nome.

 Per determinare la forma esatta delle orbite dei pianeti egli, non potendo

osservare  dalla Terra le posizioni e neanche le direzioni di  nessuno  dei

pianeti, operò indirettamente come segue.

 Ricordiamo  intanto che la rivoluzione sinodica di un corpo celeste è il

periodo  intercorrente tra due identiche posizioni dell'astro e della  Terra

rispetto  al Sole. Questo periodo lo indichiamo con S. Con T indichiamo  il

periodo di rivoluzione della Terra e con P l'analogo periodo di un pianeta.

Supponiamo  che  le  orbite  siano concentriche  e  complanari.  Allora  la

velocità relativa della Terra rispetto al pianeta sarà la differenza  delle

velocità 1/T e 1/P rispetto al Sole. Quindi per un pianeta esterno avremo:

1/T - 1/P = 1/S e per un pianeta interno: 1/P - 1/T = 1/S.

 Ora,  mentre  le rivoluzioni siderali sono costanti,  per  la  rivoluzione

sinodica  occorre  considerare la media relativa ad un lungo  intervallo  di

tempo perché le orbite non sono né concentriche, né complanari, né circolari.

 A questo punto Kepler poteva determinare P per un pianeta esterno mediante

la  seguente  formula  che segue facilmente  dalla  prima  delle  relazioni

precedenti:      S·T

             P = ———

                 S-T

 Il pianeta prescelto, con felice intuizione, fu Marte. Questo si  avvicina

molto alla Terra e ha un'orbita relativamente molto eccentrica e per questo

aveva  dato  problemi  in tutti i tempi e Ticone  gli  aveva  dedicato  una

particolare   attenzione   accumulando   un   numero   abbondantissimo   di

osservazioni.

 La  rivoluzione  sinodica di Marte è di 2,135 anni e mediante  la  formula

vista  sopra si ottiene P = 1,881 anni. Quindi in due epoche a distanza  di

1,881 anni il pianeta deve trovarsi nello stesso punto M della sua  orbita.

(Fig.  3). 

 


In  queste  epoche però la Terra  si  trova  in  due  posizioni

differenti A e B della sua orbita che Kepler suppose inizialmente,  secondo

la teoria di Copernico, circolare e un poco eccentrica intorno al Sole.

 Le  due  direzioni in cui era visto Marte dalla Terra,  date  mediante  le

coordinate  sferiche,  erano  conosciute da Kepler dalle  lunghe  serie  di

osservazioni  Ticoniane,  o  direttamente  osservate  in  tali  epoche,  o

facilmente  interpolabili  dalle  epoche vicine. Il  punto  d'incontro  tra

queste  due direzioni (M) fornisce una completa posizione  eliocentrica  di

Marte,  cioè la direzione spaziale e la distanza (riferita al raggio  della

orbita  terrestre). Le distanze SA e SB furono desunte provvisoriamente  da

Kepler  dalla vecchia teoria delle orbite circolari  eccentriche.  L'angolo

ASB  si ottiene per differenza delle longitudini del Sole gBS - gAS  e  gli

angoli  SAM e SBM analogamente dalla differenza delle longitudini osservate

fra Marte e il Sole cioè SAM = gAS + gAM,  SBM = 2p -(gBS + gBM).

 Si hanno quindi tutti gli elementi per calcolare per via trigonometrica la

distanza SM e la longitudine gSM di M.

 Combinando  con tale procedimento diverse coppie di punti di  osservazione

Kepler  ottenne un certo numero di punti dell'orbita di Marte che tentò  di

controllare,  specialmente nelle distanze dei punti dal Sole,  mediante  le

formule  fino allora usate del moto circolare eccentrico. Egli  si  accorse

che  i  detti  punti non erano rappresentati con la  precisione  che  si

aspettava e, visto che i risultati si discostavano dalle previsioni più  di

quanto potesse essere dovuto a errori delle osservazioni di Ticone,  giunse

alla conclusione che le orbite non potevano essere circolari.

 Provando  invece a calcolare le distanze con la formula che dà  il  raggio

vettore di un'ellisse egli vide che i punti derivati dalle osservazioni si

accordavano  molto meglio con i calcoli. Inoltre confrontando  le  distanze

tra  i singoli punti coi tempi impiegati da Marte a percorrerle, trovò  che

la velocità del pianeta non era in tutti i punti la stessa.

 Con  ciò  egli aveva scosso, senza alcuna assunzione ipotetica,  il  dogma

millenario dei moti circolari uniformi.

 Kepler  ripeté tutto il procedimento assumendo per orbita della Terra,  in

luogo   del  circolo  eccentrico  (che  fortunatamente,  per   la   piccola

eccentricità  dell'orbita reale della Terra, non aveva intralciato i  primi

risultati) un ellisse e, facendo varie prove circa la forma e la  posizione

di questa fino ad avere la migliore concordanza con le osservazioni, giunse

così al seguente enunciato che è la I legge di Kepler:

 Le orbite dei pianeti sono ellissi e il Sole ne occupa uno dei fuochi.

 


Ricordiamo che l'angolo v (fig. 4) dalla linea degli absidi al pianeta  in

R partendo dal perielio P e misurato in senso diretto (antiorario) da 0° a

360° si chiama anomalia vera e r è il raggio vettore.

 Dall'equazione  in  coordinate ortogonali dell'ellisse si  può  facilmente

ottenere l'equazione in coordinate polari col polo nel Sole e l'asse polare

positivo diretto verso il perielio.

                                       

 

 

 

 

        c         a²-b²             

    e = - ,   e²= ————— ,       ——— + ——— = 1 

        a                         

                                      

 Per la trasformazione in coordinate polari e la traslazione abbiamo :

 x - ea = r cos v

      y = r sen v                            

                     (r cos v + ea)²  r²sen²v

                     —————————————— + ——————— = 1

                                      

                                         

dopo alcuni passaggi abbiamo la seguente equazione di 2° grado in r :

                                                       

     (1 - e² cos² v)r²  + 2ea cos v(1-e²)r - a² + 2e²a²  - e4a² = 0

che risolta ci dà :             

                         a(1 - e²)

                    r = ———————————

                        1 + e cos v

 

che è detta equazione dell'orbita.

 

 

 

 

 

 Kepler  aveva  trovato la legge delle aree prima di  determinare  l'esatta

forma  delle  orbite.  Per  studiare  il  moto  esatto  della  terra   egli

considerava il pianeta Marte in diverse epoche, tutte distanti tra loro del

tempo  P  (1,881 anni).  Quindi mentre il pianeta si troverà  nello  stesso

punto M, la terra si trova nei punti T1,T2,T3..... ecc. tutti  situati,

(fig.5)                         

 


 


secondo  la teoria antica, sopra un circolo eccentrico rispetto al  Sole  e

tale che i tratti percorsi nel frattempo siano uguali.

  Assunti  per gli angoli T1SM, T2SM, ... tra i raggi vettori della Terra  e

di  Marte nelle dette epoche i valori risultanti dalle  teorie  Copernicane

dei circoli eccentrici, egli conosceva nei triangoli ST1M, ST2M, ecc. tutti

gli angoli in quanto ché gli angoli in T1,T2,... gli erano forniti diretta_

mente dall'osservazione e quindi poteva calcolare i rapporti

T1S     T2S

———— , ———— , ...                       

 SM     SM

delle singole distanze della Terra dal Sole a quella di Marte dal Sole e da

questi, infine i rapporti tra le singole distanze della terra dal Sole.

 Così Kepler scoprì che il rapporto della distanza perielia e quella afelia

della  Terra  non conduceva all'eccentricità  dell'orbita  conosciuta  fino

allora ma alla metà (0,017) perciò egli aveva trovato necessario introdur_

re l'equante anche per l'orbita della Terra in posizione simmetrica col Sole

rispetto al centro del deferente.

 

 

 

 

 

 

 


 


(fig. 6)

In  tali condizioni i due angoli eliocentrici a e b saranno  descritti in

tempi uguali dal raggio vettore della Terra dato che i rispettivi archi di

traiettoria  ab e a'b' corrispondono a uguali angoli in M centro  del  moto

                                          c

angolare uniforme. Per l'eccentricità e = -  si ha

                                          r

 

 SP   MA   a'b'   SA b           r-c   1-e   1+e b

 —— = —— = ———— = ——·-  e anche  ——— = ——— = ———·-  da cui, trascurando

 SA   MP    ab    SP a           r+c   1+e   1-e a

                                   1 a-b

e² perché piccolissimo, segue: e = - ——— , cioè effettivamente la metà della

                                   2 a+b 

eccentricità determinata senza l'ipotesi dell'equante.

 Ma  nel  moto così definito vale, intorno alla linea degli absidi  AP,  la

cosiddetta  legge delle aree, secondo la quale le aree descritte dal  raggio

vettore  della  Terra  in  tempi uguali  sono  equivalenti.  Infatti  dalle

                              a    1+e      r+c 

precedenti relazioni abbiamo  - = (———)² = (———)²,              

                              b    1-e      r-c

 

           1           1        r+c       1     

Area Sab = -(r-c)²·a = -(r-c)²·(———)²·b = -(r+c)²·b = Area Sa'b' .

           2           2        r-c       2

 Kepler  estese questa legge a tutto il moto del circolo eccentrico e  dopo

aver  trovato la vera forma dell'orbita verificò che la stessa legge  delle

aree veniva soddisfatta sull'ellisse e per tutti i pianeti.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

III legge di Kepler

 

 Kepler  che  ricercava  un  principio universale  nel  moto  dei  pianeti,

perfezionando l'antica teoria dei poliedri regolari, cercava di inscrivere

le orbite dei pianeti in poliedri in modo che queste fossero tangenti  alle

facce dei poliedri, vedendo in ciò un segno della perfezione divina.

 Abbandonate  queste  vecchie idee e sapendo da Copernico che non  solo  le

velocità  angolari  dei pianeti, ma anche  quelle  lineari  decrescono  con

l'aumentare  della  distanza dei pianeti dal Sole, cosicché  le  durate  di

rivoluzione  vanno  crescendo  con le distanze,  tentò  per  via  puramente

empirica  di trovare una dipendenza tra queste distanze e le velocità o  le

durate di rivoluzione. Ma soltanto dieci anni dopo la scoperta delle  prime

due  leggi (pubblicate nel 1609) trovò questa legge generale.

E' la terza legge di Kepler :

 I  quadrati  dei tempi di rivoluzione dei pianeti stanno  tra  loro  nello


stesso rapporto dei cubi delle rispettive distanze medie.

                         

 Consideriamo  ora la seguente importante conseguenza della terza legge  di

Kepler. 

 Per orbite circolari l'accelerazione centripeta, come sappiamo, è

            

           4p²r

 ac  = ——— = ————  e per rapporto delle accelerazioni di due pianeti

        r    

 


e per la terza legge di Kepler

 


cioè le  accelerazioni  centripete di due pianeti  qualsiasi  sono

inversamente proporzionali ai quadrati delle rispettive distanze dal Sole.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Un  tentativo di ricondurre tutti i moti planetari ad un unica origine  fu

quello  di Cartesio (1630) con la teoria dei vortici, secondo la  quale  il

Sole  e  tutto il sistema planetario doveva trovarsi immerso  in  un  mezzo

fluido  entro  il quale il Sole e i pianeti dovevano generare con  la  loro

rotazione  dei  vortici  che  mettevano  in  rotazione  la  materia  fluida

circostante  fino  alle  parti più lontane e così  la  rotazione  del  Sole

trascinava  i pianeti a ruotare intorno ad esso e i pianeti trascinavano  i

satelliti.

 Ma questa concezione era una pura ipotesi senza appoggio matematico e senza

basi osservazionali.

 Newton (1643 - 1727) partì dall'osservazione che sulla Terra tutti i corpi

lasciati  liberi  si muovono verso il centro di questa sollecitati  da  una

forza  ugualmente  diretta  che non mostra  variazioni  apprezzabili  dalla

superficie del mare alle vette più alte dei monti.

 Egli  considerava lecito quindi, estendere l'azione della  suddetta  forza

centrale  terrestre fino alla distanza della Luna a trattenerla  nella  sua

orbita   quasi  circolare  intorno  alla  Terra.  Il  principio   d'inerzia

assicurava  che la Luna continuasse nel suo moto di rotazione  senza  altra

causa  esterna  e la conseguenza della terza legge di  Kepler  che  abbiamo

visto  prima giustificava l'ipotesi che l'intensità di questa  forza  fosse

decrescente col quadrato della distanza.

 Per verificare questa ipotesi egli procedette come segue.

 Se g è l'accelerazione di gravità, cioè della forza alla superficie  della

Terra,  quindi alla distanza R dal centro della Terra; r la distanza  della

Luna dalla Terra e ac  l'accelerazione della Luna (verso la Terra), si  deve

avere :

 

 

                                   

        g : ac  = r²: R²  à   g = ——— ·ac

                                    

                            4p²r    

 Ma abbiamo visto che  ac = ————   Quindi supponendo circolare l'orbita

                                della Luna; indicando con P il periodo

                                  siderale medio della Luna  27d7h43m12s

                   4p²r³                                     

 egli ottenne  g = ————

                   P²R²

                  

che  poteva confrontare col valore di g ricavato dalle  osservazioni  sulla

Terra (9,8 m/s²).  Il primo calcolo di Newton, fatto nel 1666, condusse a un

disaccordo, avendo egli assunto per R il valore di 5250 Km, allora adottato

e, intuendo che  il  risultato sfavorevole doveva  dipendere  dalla  scarsa

precisione del valore ora detto, decise di abbandonare questa via in attesa

di dati migliori.

 Inventato  quello  che  oggi  è  il  calcolo  differenziale  e   integrale

egli,  conoscendo  già per  via  geometrica  e  quindi  approssimata,   la

conseguenza della legge delle aree secondo la quale la forza doveva  essere

sempre  diretta  verso il Sole e conoscendo la legge della  variazione  di

questa forza con la distanza per orbite circolari, dimostrò che queste  due

proprietà sono rigorosamente soddisfatte anche per le orbite ellittiche.

 Per  la  prima consideriamo un settore infinitesimo dA dell'orbita  di  un

pianeta (fig. 7)

 


 descritto in un tempo dt i cui lati saranno  r  e  r+dr,

mentre  l'angolo  racchiuso  sarà dv.  L'area sarà dA = 1/2 r(r+dr)sen dv  e

quindi, a meno di infinitesimi di ordine superiore dA = 1/2 r²dv.

 

 

Cosicché la 2ª legge di Kepler può essere espressa nella forma r²dv/dt = a,

con a = costante.      .   dv    ..  d²v

 Indichiamo da ora con v = ——  e v = ———

                           dt        dt²

 Derivando la precedente relazione rispetto al tempo si ottiene,  dividendo

per r,  ..    ..

       2rv + rv = 0

 

 Si  vede  che  questa espressione ha  le  dimensioni  di  un'accelerazione

lineare, ma per comprenderne meglio il significato facciamo un accenno allo

studio del problema dei due corpi.

 

 

 Dati due corpi di massa complessiva M soggetti soltanto alla loro mutua

attrazione gravitazionale, si può dimostrare che si muoveranno l'uno verso

l'altro con traiettoria rettilinea se partono dallo stato di quiete e con

una traiettoria piana (parabolica, ellittica o iperbolica),se partono da

uno stato di moto relativo rettilineo uniforme.

 Le equazioni del moto rispetto a uno dei due corpi sono le seguenti :

      ..       X

      X = - GM ——                             Le equazioni del moto si    

                                            ottengono ricordando che

                                               ..

                      r²=X²+Y²                mX = F cos q , cos q = X/r

 

      ..       Y                               .. 

      Y = - GM ——                             mY = F sen q , sen q = Y/r  

                                           

       

 Trasformando in coordinate polari abbiamo X = r cos q, Y = r sen q. 

 Derivando queste relazioni due volte rispetto al tempo e sostituendo nelle

equazioni del moto si ottengono due equazioni che, moltiplicate dapprima

rispettivamente per cos q e sen q e sommate, e poi per - sen q e cos q e

sommate,  danno  le  seguenti due  equazioni  differenziali  in  coordinate

polari:  ..   .               ..    . .     

         r – rq² = -GM/r² ,  r q + 2r q = 0

che ci fanno vedere come la componente radiale dell'accelerazione dipenda

direttamente  dalla  massa complessiva e inversamente  dal  quadrato  della

distanza mentre la componente trasversale è nulla.

 La 2ª legge di Kepler quindi implica che la componente trasversale della

accelerazione nel moto orbitale sia nulla.

         ..     .         . .     ..

     ar = r  - rv² ; at = 2r v + r v

                    

 L'accelerazione e quindi anche la forza è puramente radiale, cioè diretta

sempre al Sole.

 La seconda proprietà, cioè il decrescere della forza col quadrato della

distanza nelle orbite Kepleriane, si ottiene anche combinando opportunamente

l'espressione dell'accelerazione radiale ar con l'equazione dell'orbita nelle

stesse coordinate polari :               

                                 p

                        r = ———————————      [ p = a·(1-e²)]

                            1 + e cos v

.   e  .         ea           ..  ea  .          a² 1

r = -r²v sen v = ——— sen v ,  r = ——— v cos v = ———·—— e cos v

    p             p                p             p 

              1   a²           a²   a² 1            p     a² 1

e perciò ar = ——·(—— e cos v - ——)= ——·——·(e cos v- ——)=- ——·——

                p            r    p             r     p 

 

L'accelerazione e quindi la forza è inversamente proporzionale al quadrato

della distanza ( essendo a e p costanti) e diretta verso il Sole (segno -).

 Dopo quasi 20 anni, Newton disponendo di un valore più esatto di R (raggio

terrestre)  ripeté  il calcolo di g ottenendo un perfetto  accordo  fra  il

valore calcolato e quello misurato.

 Questo brillante risultato, secondo il quale dunque la forza che fa cadere

i  corpi sulla superficie della Terra è anche quella che agisce sulla  Luna

obbligandola  a descrivere la sua orbita intorno alla Terra, dava a  questa

forza  un  carattere di universalità, in quanto ché faceva  vedere  che  essa

emanava  non  solo dal Sole regolando il moto dei pianeti, ma  anche  dalla

Terra, regolando il moto della Luna, sempre essendo inversamente proporzio_

nale al quadrato della distanza.

 Occorreva infine stabilire il significato o un'espressione più precisa per

il  coefficiente di proporzionalità per avere la relazione completa per  la

forza attrattiva.

 Confrontando  il  moto  della Terra intorno al Sole e  quello  della  Luna

intorno alla Terra, Newton si accorse che la forza che dal Sole agiva sulla

Terra doveva essere molto più intensa di quella che dalla Terra agiva sulla

Luna.  Infatti  l'accelerazione aT  della Terra (dovuta al  Sole)  e  quella

della  Luna aL  (dovuta alla Terra) nelle rispettive orbite  anche  supposte

circolari sono con sufficiente esattezza :

     4p²D          4p²r

aT = ———— ;  aL  = ———— ;  con D,r,PT e PL le rispettive distanze e

                                       periodi di rivoluzione.  

       T             L

                                     

                                  D  L

 Da queste segue dapprima : aT = ———·———·aL

                                  r  L 

                                     

e  se  la  Terra si immagina alla distanza r dal Sole  (dunque  alla  stessa

distanza  della  Luna  dalla Terra), si ha per  l'accelerazione  a0  a tale

distanza, avendosi  a0 : aT = D²:r²                

                                         D     PL 

                                    a0 =(——)³·(———)²·aL

                                         r     PT   

                                                 

 Ora, si  ha  in cifre tonde D = 390·r , PT = 13,37·PL , per  cui  fatti i

calcoli  risulta  a0 = 33000·aL , dunque per l'attrazione  del  Sole  sulla

Terra  un'accelerazione  enormemente superiore a  quella  della  attrazione

analoga della Terra sulla Luna.

 Ciò giustifica pienamente la supposizione di Newton che la massa dei corpi

debba  entrare ad avere una importanza fondamentale nell'espressione  della

forza e giustifica l'enunciato provvisorio, ma poi diventato definitivo per

le numerosissime conferme ricevute dall'applicazione, della legge dell'at_

trazione universale nella forma:

 Due  punti  materiali  qualunque si attraggono a  vicenda  con  una  forza

direttamente proporzionale alle due masse ed inversamente proporzionale  al

quadrato della distanza reciproca.

                            

                              M1M2

                        F = G ————

                              

 Il primo enunciato di questa legge fu dato da Newton alla Royal Society di

Londra  nell'agosto  del 1684 e qualche anno dopo, nel 1687, venne  la  sua

opera monumentale Philosophiae naturalis principia mathematica.