Il problema di Kepler

 

 

Sia t l'istante nel quale un pianeta viene a trovarsi in un punto R della sua orbita (fig, 9) e T l'istante in cui

esso passato per il perielio P,

Fig.9

cosicch sar t-T l'intervallo di tempo impiegato a percorrere l'arco PR.

Se As l'area del settore ellittico descritto dal raggio vettore del pianeta nel tempo t-T ed Ae l'area

dell'ellisse intera, si deve avere per la 2a legge di Kepler As : Ae = (t-T) : P, essendo P il periodo siderale.

Essendo abp l'area dell'ellisse, segue per quella del settore :

 

t-T

As = abp

P

cosicch, essendo conosciuto P si pu calcolare As.

Da questo settore necessario poi passare all'angolo formato dai due raggi vettori che lo racchiudono,

cio all'angolo fra il raggio vettore del pianeta all'istante considerato t e la linea degli absidi diretta al

perielio; angolo indicato con v e detto anomalia vera.

E' il cosiddetto problema di Kepler.

C il centro dell'orbita ellittica, S il Sole (nel fuoco), P il perielio, A l'afelio, R la posizione del pianeta nella

sua orbita al tempo t. Inoltre sia PTA il cerchio di centro C e raggio a = CP, T il punto di questo in cui

l'ordinata di R lo incontra, R' l'incontro della proiezione della stessa ordinata sulla linea degli absidi.

Il luogo R del pianeta determinato dal raggio vettore SR = r e dalla sua anomalia vera v.

Per la soluzione di questo problema necessario introdurre l'angolo TCP = E , che viene chiamato

anomalia eccentrica e si determina dapprima questo angolo ausiliario in funzione degli elementi e

dell'intervallo t-T.

Ricordando che tutte le ordinate dell'ellisse stanno a quelle corrispondenti del cerchio circoscritto nel

rapporto b : a , abbiamo :

RR' : TR' = b : a , per cui intanto, le aree dei due triangoli SR'R e SR'T, avendo uguali le basi, stanno

pure nel rapporto b : a ; per lo stesso motivo anche le due aree PR'R e PR'T stanno nello stesso

rapporto b : a , come risulta se si immaginano divise queste aree in tante aree sottili mediante numerose

ordinate, per cui segue allora :

(PR'R + SR'R) : (PR'T + SR'T) = b : a .

I primi due termini della precedente relazione sono i due settori PSR e PST e avendo gi indicato con As

l'area del primo, si ha :

b

As = PST

a

Ma l'area PST la differenza tra l'area del settore circolare PCT e il triangolo CST , ed avendosi :

 

1 1 1 1

PCT = aae = aE , CST = aea sen E = ae sen E , segue

2 2 2 2

 

b 1 1 1 t-T

As = ( aE - ae sen E) , cio ab(E - e sen E) = pab e quindi

a 2 2 2 P

 

t-T

E - e sen E = 2p 1)

P

che la cosiddetta equazione di Kepler.

Trovato E con la risoluzione della precedente equazione, necessario passare alla anomalia vera v.

Poich CR' = CS + SR', esprimendo questi segmenti mediante a,e,E,v, si ottiene a cos E = ae + r cos v .

Scrivendo l'equazione dell' orbita nel modo seguente :

 

a(1-e)cos v

r cos v = e combinandola con la precedente, si ha :

1 + e cos v

 

 

 

(1-e)cos v e + cos v

cos E = e + =

1 + e cos v 1 + e cos v

 

che darebbe gi v in funzione di E.

Si preferisce un'espressione con la tangente anzicch il coseno e si trasforma quest'ultima relazione

nel seguente modo :

 

(1-e)(1-cos v)

1 - cos E =

1 + e cos v

 

(1+e)(1+cos v)

1 + cos E =

1 + e cos v

e per divisione :

1-e

tgE/2 = tgv/2

1+e

__

e quindi /1+e

v = 2arctg tg E/2 2)

1-e

Il doppio segno che dovrebbe avere il 2 termine non serve perch v ed E sono sempre compresi entrambi

tra 0 e 180 oppure tra 180 e 360.

Trovata l'anomalia vera non occorre altro che il raggio vettore e questo pu essere calcolato mediante v

dall'equazione dell' orbita o dalla relazione a cos E = ae + r cos v che abbiamo visto in precedenza.

Combinando, per, le due relazioni ora ricordate, si ottiene un'espressione pi semplice :

r + re cos v = a(1-e)

re cos v = a(e cos E - e)

e quindi sottraendo si ha :

r = a(1-e cos E) 3)

Col gruppo di formule 1), 2), 3) che risolvono il problema di Kepler sono facilmente calcolabili le due

coordinate polari orbitali v ed r del pianeta per qualunque istante t quando sono conosciute le quantit

geometriche a ed e dell'ellisse orbitale e il tempo T.